魔方和数学那些不得不说的事情

数学，恐怕是令很多中学生最为头疼的课之一，繁琐枯燥的数字、代数式、函数，想不明白的线、面、立体，很多人因为它选择了对数学要求相对较低的文科。但是，在它枯燥又晦涩难懂的面纱背后，隐藏着无穷的魅力，只要有一颗愿意去发现、探究的心，数学展现在面前的是奇妙与精彩。

数学可以渗透到日常生活的方方面面，甚至是玩乐，一个简单的游戏，一种普通的玩具，都可能蕴含着数学的精彩。非常高深的数学，很可能就在其中完美体现。本文将从一个风靡世界的玩具——魔方——出发，探讨数学与玩具的完美结合，追寻数学的魅力。

魔方的发明与流行

通常所说的魔方，其国际标准称呼是鲁比克魔方，由匈牙利布达佩斯应用艺术学院的建筑学教授鲁比克·艾尔内于1974年发明。关于鲁比克发明魔方的初衷，流传甚广的一个说法是为了发明一种教具，以帮助学生理解、认识立体空间的构造。鲁比克一开始并没有意识到他发明了一个极其具有挑战性的益智玩具，当他第一次将自己发明的魔方打乱，才发现了这个后来被无数人反复证明的事实：复原状态的魔方一旦被打乱，想要将其复原是一件极其困难的事情。有报道说，一个智力正常的英国人从 1983年接触魔方开始，花了26年时间才依靠自己的力量将魔方复原。

1980年初，一家玩具公司将魔方带至在巴黎、伦敦和美国的国际玩具博览会上展出，此后不久，随着魔方制造技术的改进，魔方迅速风靡全球，到1982年，短短的3年间魔方在全球就售出了200多万只，而到今天，全世界售出了数亿只魔方，魔方已经成为全球最为流行的玩具之一。

魔方发明以后，就开始有大量的人绞尽脑汁思索如今将其复原，并且更进一步设法在尽可能短的时间内将其复原。随着魔方的流行，相关的比赛开始举办，也建立起相关组织，1981年 3月13日，第一场魔方比赛举办，一位慕尼黑人以38秒的复原时间赢得冠军。 1982年6月5日，在匈牙利首都布达佩斯举办了第一次国际性的魔方比赛，最短复原时间缩短到了23秒。 2003年开始，世界魔方协会开始定期举办魔方比赛，比赛规则、项目都得到发展与完善，并为了减少单次复原时间的偶然性，将冠军改由多次复原的平均时间来决定。在魔方复原方面的竞争异常激烈，创造了一个又一个惊人记录，最新的记录是 2018年年末创造的3.47秒的世界记录。

随着魔方的流行，其他类型的魔方也逐渐被发明。通常所说的魔方指的是三阶魔方，也即魔方每条棱上包含三个小方块。最早的二阶魔方于1970年被发明，而鲁比克在发明三阶魔方后不久重新开发了二阶魔方，以及高于三阶的魔方。迄今为止，高于七阶的魔方已经被发明出来，而从二阶到七阶魔方，都有相关的比赛举办。

在我国，魔方在上世纪80年曾是儿童最为抢手的玩具，但90年代，魔方逐渐被冷遇。近年来，在国内一些魔方高手的努力下，魔方开始重新流行起来，被越来越多的人所关注，并且，魔方不再被认为仅仅是一种儿童手中的玩具，更是一种休闲放松的方式和体育竞技形式，而且极具刺激性与挑战性。国内高手的最短复原时间也逐渐接近国际最好成绩，2018年11月24日宇神创造三阶魔方最好成绩 3.47秒

魔方的构造及复原方法

魔方核心是三个相互垂直的轴，保证魔方的顺利转动。外观上，由 26个小正方体组成一个正方体。包括与中心轴相连的中心方块6个，相对位置固定不动，仅一面涂有颜色。棱块12个，两面有颜色。角块8个，三面有色。复原状态下，魔方每面都涂有相同的颜色，六个面的颜色各不相同。魔方每个面都可以自由转动，从而打乱魔方，形成变化多端的组合。

如前所述，魔方一旦被随意打乱，将其复原是一件极其困难的事。但 30多年来，众多魔方玩家已经发明出众多的魔方玩法，可以让一个初学者在短时间内学会将任意排列的魔方复原。复原方法包括层先法、角先法、棱先法、桥式方法、CFOP法等等。其中最早发明的也是初学者最常用的方法是层先法。

限于篇幅，本文不打算详细讲解魔方的复原步骤，仅对层先法做简要介绍，感兴趣的读者可以到网上搜索相关的教程、视频。可以将魔方看成一个三层结构的立方体，层先法的基本思想是逐层复原魔方，其第一步是选取任一面作为顶层，在顶层复原出一个十字，但该层四个棱块侧面的颜色必须和侧面四个中心块的颜色对应。之后再逐层复原。熟练掌握后，利用此法可以在一分钟内复原魔方。

魔方与数学：排序组合

魔方复原的困难，一方面在于其打乱后存在着大量的组合。组合的数量可以按照如下方式计算：8个角块可以互换位置，存在8！种组合，又可以翻转，每个角块可以具有3种空间位置，但因为不能单独翻转一个角块，需要除以3，总共存在8!×37种组合；12个棱块可以互换位置，得到12！，又可以翻转，得到212，但因为不能单独翻转一个棱块，也不能单独交换任意两个棱块的位置，需要分别除以2，得到12!×212/(2×2)种组合。

联合起来，得到魔方的所有可能组合数为：

8!×37×12!×212/(2×2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33×1019

这是一个天文数字，如果某位玩家想要尝试所有的组合，哪怕不吃不喝不睡，每秒钟转出十种不同的组合，也要花上千亿年的时间才能如愿，这是当前宇宙年龄的约10倍。

实际上，如果将魔方拆开随意组合，其组合情况将多达5.19×1020种。也就是说，如果拆散魔方，再随意安装，有11/12的几率无法恢复原状。所以如果魔方被拆散，安装时应按复原状态安装，否则极可能会无法复原。

魔方复原的另一个困难来自于我们只能安装特定的方式复原，即反复旋转某一面，一面上的9个方块必须整体参与运动，这样我们在复原过程中总是会打乱已经复原的部分，这种限制大大加大了复原魔方的难度。

魔方与数学：群

群论是数学中的一个重要分支，有着广泛的应用。理解群论是困难的，它是部分专业的研究生课程。不过，魔方这个大众化的玩具为理解群论提供了帮助。

首先，用小学生就已熟知的概念说明什么是群。考虑所有的整数以及加法运算，我们能发现如下几个简单的事实：任意两个整数相加所得结果仍然为整数；加法满足交换律；任一整数与零相加为其本身；任一整数存在相反数并与其相加结果为零。这四条性质分别称为：封闭性；结合律；存在单位元（注：这里的元意为元素，该例中单位元为整数中的零。）；存在逆元。亦即群的定义为在某种操作下满足上述四个条件的元素的集合。本例中，整数在加法运算下构成一个群。

对魔方的所有独立操作也构成一个群，举一个最简单的例子，对魔方任意面的操作构成一个群，这个群包含四个元素：空操作，记为M0；顺时针旋转90°，记为M1；逆时针旋转90°，记为M-1；旋转180°，记为M2。群运算为任意两个操作的联合操作，例如M1M2，意思为先对魔方某面顺时针旋转90°，再旋转180°。很容易证明这四个元素满足上述四个条件：封闭性、单位元（即M0）、逆元（M1 与M-1互为逆元，M0与 M2的逆元是其本身）都是显然的；对结合律，明显有M1 (M-1M2)= M1 M1= M2，而 (M1 M-1)M2= M0 M2= M2。

对魔方的所有操作，情况复杂一些，但同样可以证明他们构成一个群。

引入群论的一个重要作用在于群论在研究对称性方面的突出优点，考虑魔方的对称性，我们马上发现前面所说的4.33×1019种组合含有极大的水分，他们中有很多其实是完全相同的，只不过是从不同的角度去看而已。考虑了对称性，魔方的实际组合数马上减少到上述数字的1/96。这对魔方的研究提供了极大的帮助。

上帝数字

很显然，任意组合的魔方都可以在有限步骤内复原，那么，问题来了，是否存在复原任意组合魔方所需的最少转动次数N？也即，如果至多进行N次转动便可以将任意魔方复原，这个N具体为多少？这个数字N被成为上帝数字，从魔方刚刚流行的1982年便被提了出来。

寻找上帝数字最直接的办法是对魔方所有的组合情况，对其进行复原并得到所有的最少转动次数N，所有的N中最大的一个便是我们要寻找的上帝数字。但是，如前所述，即使考虑了对称性，魔方的组合情况依然是个天文数字，即使今天，利用世界排名第一的超级计算机，对其进行计算也不现实。

但这难不倒天才的数学家，上帝数字的值从1982年提出时估计的17~52之间，范围逐渐缩小，去年，一个研究团队在Google提供的计算资源支持下，最终证明上帝数字为20。也就是说，对任意的魔方，我们都可以用20次或者更少的转动将其还原。这听起来很不可思议，但已经被众多的魔方玩家所证实。

当然，对任意的魔方，寻找最少的转动步骤是极其困难的，需要针对每种情况寻找特定的步骤。一般的，还是利用本文前面所述的复原办法，只需学习记忆少量的套路或公式，如CFOP法，需要学习记忆119个公式，平均只需55次转动便可复原魔方，就可以在20秒以还原三阶魔方。

人生还很漫长一生注定不会一帆风顺

在所有人远离你而去的时候

在你迷茫痛苦孤独的时候

在无所事事打发时间的时候

在你倍感煎熬无处倾诉的时候

魔方不会让你发疯

只会永远陪在你身边

人注定是孤独的但魔方可以让你感觉人生不那么无趣

孩子学习魔方不是为大人而学还是为自己而学

不仅是为现在而学而是为将来而学